Question

6．若二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点分别为（x₁，0），（x₂，0），且x₁＜x₂，图象上有一点M（x₀，y₀），且在x轴下方，对于以下说法：①b²-4ac＞0②方程ax²+bx+c=y₀的解是x=x₀③当x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$时，y₀的值最小④（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，其中正确的序号是①③④．

Answer 1

分析 利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；当M点不是顶点式，方程ax²+bx+c=y₀的解有两个，则可对②进行判断；根据抛物线的对称性，当x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$时，M点为顶点，则可对③进行判断；利用x₁＜x₀，x₀＜x₂可对④进行判断．

解答 解：∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点分别为（x₁，0），（x₂，0），
∴△=b²-4ac＞0，所以①正确；
∵点M（x₀，y₀）在二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象上，
∴x=x₀为方程ax²+bx+c=y₀的解，所以②错误；
∵x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$
∴抛物线的对称轴为直线x=x₀，
∴点M（x₀，y₀）为抛物线的顶点，
∴y₀的值最小，所以③正确；
∵x₁＜x₂，点M（x₀，y₀）在x轴下方，
∴x₁＜x₀，x₀＜x₂，
∴（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，所以④正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．