Question

分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆
（1）若这三个半圆在BC的两侧（如图甲所示），半圆的面积分别为S₁，S₂，S₃ 那么：S₁、S₂、S₃之间有什么数量关系？请说明理由．
（2）若这三个半圆在BC的同一侧（如图乙所示）Rt△ABC的面积等于S₃，两个“月牙”的面积部分别为S₁、S₂那么：S₁、S₂、S₃之间有什么数量关系？请说明理由．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：计算题

分析：（1）S₁+S₂=S₃，理由为：根据圆的面积公式表示出S₁、S₂、S₃，利用勾股定理列出关系式，整理即可得证；
（2）S₁+S₂=S₃，同理可证．

解答：解：（1）S₁+S₂=S₃，理由为：
由题意得：S₁=

1

2

π（

c

2

）²=

1

8

πc²，S₂=

1

2

π（

b

2

）²=

1

8

πb²，S₃=

1

2

π（

a

2

）²=

1

8

πa²，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC²=AB²+AC²，即b²+c²=a²，
∴

1

8

πc²+

1

8

πb²=

1

8

πa²，
则S₁+S₂=S₃；
（2）S₁+S₂=S₃，同理可证．

点评：此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．