Question

如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．
（1）当四边形ABCD是分别菱形、矩形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：

四边形ABCD	菱形	矩形
平行四边形EFGH

（2）当四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是什么特殊图形，证明你的结论；
（3）反之，当用上述方法所围成的平行四边形是矩形时，相应的原四边形必须满足怎样的条件？（直接写出结论）

Answer 1

考点：矩形的判定,平行四边形的判定,菱形的判定

专题：

分析：（1）原四边形是菱形时，菱形的对角线互相垂直，因此平行四边形应该是个矩形（平行四边形相邻的两边都垂直），
原四边形是矩形时，它的对角线相等，那么平行四边形应该是个菱形（平行四边形相邻的两边都相等）；
（2）根据平行公理的推论求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四边形EFGH，证出邻边相等即可；
（3）根据（1）我们可看出要想使得出的平行四边形是矩形，那么原四边形的对角线就必须垂直，因为只有这样平行四边形的相邻两边才垂直．

解答：解：（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，
四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，
故答案为：矩形，菱形．

（2）如图所示：

当四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是矩形；
理由：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四边形EAOB，EFGH均为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=DB，
∴EH=EF=FG=HG，
∴四边形EFGH为菱形；

（3）当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直．

点评：本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点．能求出平行四边形EFHG是解此题的关键．