Question

【题目】某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.

(1)观察猜想

如图①，当点D在线段BC上时。

①BC与CF的位置关系为：___；

②BC,CD,CF之间的数量关系为：___;(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

(3)拓展延伸

如图③,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=,CD=BC，请求出GE的长。

Answer 1

【答案】（1）①垂直；②BC=CF+CD；(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC；（3）.

【解析】

（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4,AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．

(1)①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中,

AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，

∴△DAB≌△FAC(SAS)，

∴∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；

故答案为：垂直；

②△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD；

故答案为：BC=CF+CD；

(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.

∵正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中,

AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，

∴△DAB≌△FAC(SAS)，

∴∠ABD=∠ACF，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°.

∴∠ABD=180°45=135°，

∴∠BCF=∠ACF∠ACB=135°45°=90°，

∴CF⊥BC.

∵CD=DB+BC，DB=CF，

∴CD=CF+BC.

(3)过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，

∵∠BAC=90，AB=AC，

∴BC=AB=4,AH=BC=2，

∴CD=BC=1,CH=BC=2，

∴DH=3，

由(2)证得BC⊥CF，CF=BD=5，

∵四边形ADEF是正方形,

∴AD=DE,∠ADE=90，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四边形CMEN是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90，

∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90，

∴∠ADH=∠DEM，

在△ADH与△DEM中,

∠ADH=∠DEM，∠AHD=∠DME，AD=DE，

∴△ADH≌△DEM(AAS)，

∴EM=DH=3，DM=AH=2，

∴CN=EM=3，EN=CM=3，

∵∠ABC=45，

∴∠BGC=45，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=4，

∴GN=1，

∴EG=.