Question

【题目】在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为（20 ﹣20）cm．
（1）求AB的长；
（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014秒，交点又在什么位置？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，过A点作AD⊥BC，垂足为D．

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=30°．

令AB=2tcm．

在Rt△ABD中，AD= AB=t，BD= AB= t．

在Rt△AMD中，∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，

∴MD=AD=t．

∵BM=BD﹣MD．即 t﹣t=20 ﹣20．

解得t=20．

∴AB=2×20=40cm．

答：AB的长为40cm．

（2）解：如图2，当光线旋转6秒，

设AP交BC于点N，此时∠BAN=15°×6=90°．

在Rt△ABN中，BN= = = ．

∴光线AP旋转6秒，与BC的交点N距点B cm处．

如图3，设光线AP旋转2014秒后光线与BC的交点为Q．

由题意可知，光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2=16秒，

而2014=125×16+14，即AP旋转2014秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q．

旋转14s的过程是B→C：8s，C→Q：6s，因此CQ=BN= ，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴BC=2ABcos30°=2×40× =40 ，

∴BQ=BC﹣CQ=40 ﹣ = ，

∴光线AP旋转2014秒后，与BC的交点Q在距点B cm处．

【解析】（1）如图1，过A点作AD⊥BC，垂足为D．令AB=2tcm．在Rt△ABD中，根据三角函数可得AD= AB=t，BD= AB= t．在Rt∠AMD中，MD=AD=t．由BM=BD﹣MD，得到关于t的方程，求得t的值，从而求得AB的长；（2）如图2，当光线旋转6秒，设AP交BC于点N，在Rt△ABN中，根据三角函数可得BN；如图3，设光线AP旋转2014秒后光线与BC的交点为Q．求得CQ= ，BC=40 ．根据BQ=BC﹣CQ即可求解．