题目内容
1．在△ABC中，AB=6，BC=8，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1，若△CBC1的面积为16，求△ABA1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．
分析 （1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=30°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；
（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面积；
（3）①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．
解答 解：（1）如图1，
依题意得：△A1C1B≌△ACB，
∴BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30°，
∴∠BC1C=∠C=30°，
∴∠CC1A1=60°；
（2）如图2，
由（1）知：△A1C1B≌△ACB，
∴A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC，
∴∠1=∠2，$\frac{A1B}{C1B}$=$\frac{AB}{CB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴△A1BA∽△C1BC，
∴$\frac{{{S_{△{A_1}BA}}}}{{{S_{△{C_1}BC}}}}={（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{4}{9}$=（$\frac{3}{4}$）2=$\frac{9}{16}$，
∵S${\;}_{△CB{C}_{1}}$=16，
∴S△A1BA=9；
（3）线段EP1长度的最大值为11，EP1长度的最小值1．
解题过程如下：①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=8×$\frac{1}{2}$=4，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=4-3=1；
②如图b，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=8+3=11．
综上所述，线段EP1长度的最大值为11，EP1长度的最小值1．
点评 此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
