在△ABC中.AB=6.BC=8.∠ACB=30°.将△ABC绕点B按逆时针方向旋转.得到△A1BC1．(1)如图1.当点C1在线段CA的延长线上时.求∠CC1A1的度数,(2)如图2.连接AA1.CC1.若△CBC1的面积为16.求△ABA1的面积,(3)如图3.点E为线段AB中点.点P是线段AC上的动点.在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中.点P的对应点是点P1.直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在△ABC中，AB=6，BC=8，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁，若△CBC₁的面积为16，求△ABA₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P₁，直接写出线段EP₁长度的最大值与最小值．

分析（1）由旋转的性质可得：∠A₁C₁B=∠ACB=30°，BC=BC₁，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC₁A₁的度数；
（2）由△ABC≌△A₁BC₁，易证得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA₁的面积；
（3）①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，即可求得线段EP₁长度的最大值与最小值．

解答解：（1）如图1，

依题意得：△A₁C₁B≌△ACB，
∴BC₁=BC，∠A₁C₁B=∠C=30°，
∴∠BC₁C=∠C=30°，
∴∠CC₁A₁=60°；

（2）如图2，

由（1）知：△A₁C₁B≌△ACB，
∴A₁B=AB，BC₁=BC，∠A₁BC₁=∠ABC，
∴∠1=∠2，$\frac{A1B}{C1B}$=$\frac{AB}{CB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴△A₁BA∽△C₁BC，
∴$\frac{{{S_{△{A_1}BA}}}}{{{S_{△{C_1}BC}}}}={（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{4}{9}$=（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$，
∵S${\;}_{△CB{C}_{1}}$=16，
∴S_△A1BA=9；

（3）线段EP₁长度的最大值为11，EP₁长度的最小值1．
解题过程如下：①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=8×$\frac{1}{2}$=4，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=4-3=1；
②如图b，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为：EP₁=BC+BE=8+3=11．
综上所述，线段EP₁长度的最大值为11，EP₁长度的最小值1．