Question

6．现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°、和45°、45°、90°）如图所示，其中一块三角板的直角边AC⊥数轴，AC的中点是数轴原点O，AC=8，斜边AB交数轴于点G，△CDE的边CE=8，将△CDE绕C点顺时针旋转θ度．
（1）如图1，点G在数轴上对应的数是4．
（2）当A点在边DE上时，DE与数轴交于F点，求旋转角θ的角度和F点在数轴上对应的数；
（3）如图3，当CD过G点时，CE与数轴交于F，请判断四边形BCFG是什么特殊四边形？并说明理由；
（4）如图4，当E在数轴上时，DE与边BC交于H点，连接BE．
①求证：四边形OCHE是矩形；
②求BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形可得BC的值，易证OG是△ACB的中位线，即可得出点G在数轴上对应的数；
（2）由∠AEC=60°，AC=CE，可得△ACE是等边三角形，由∠DCE=90°，即可得出旋转角θ的角度为30°，利用RT△FOA可得FO的值，即可得出F点在数轴上对应的数；
（3）利用FG∥BC，且FG=BC求得四边形BCFG是平行四边形即可，
（4）①利用RT△COE，可得OC=4，CE=8，可得出∠CEO=30°，进而得出∠CED=60°，由∠OEH=90°，∠COE=∠OCB=90°，即可得出四边形OCHE是矩形；
②在RT△EHB中，求出CH，HB，利用勾股定理BE=$\sqrt{E{H}^{2}+H{B}^{2}}$求解即可．

解答 解：（1）如图1，

∵RT△ACB是等腰直角三角形，AC=8，
∴BC=8，
∵三角板的直角边AC⊥数轴，AC的中点是数轴原点O，
∴OG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴点G在数轴上对应的数是4，
故答案为：4．
（2）如图2，

∵∠AEC=60°，AC=CE=8，
∴△ACE是等边三角形，
∵∠DCE=90°，
∴∠ACD=90°-60°=30°，
∴旋转角θ的角度为30°，
∵∠EAC=60°，∠AOF=90°，AO=4，
∴FO=$\sqrt{3}$AO=4$\sqrt{3}$，
（3）如图3，

∵点G为AB的中点，
∴∠OCG=45°，
∵∠ECD=90°，
∴∠FCO=45°，
∴FO=CO=4，
∴FG=BG=8，
∵FG∥BC，
∴四边形BCFG是平行四边形，
（4）①如图4，

∵在RT△COE中，OC=4，CE=8，
∴∠CEO=30°，
∵∠CED=60°，
∴∠OEH=90°，
∵∠COE=∠OCB=90°，
∴四边形OCHE是矩形；
②∵∠CEO=30°，
∴∠BCE=30°，
∵四边形OCHE是矩形；
∴CH=$\sqrt{3}$EH=4$\sqrt{3}$，
∴HB=BC-CH=8-4$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{E{H}^{2}+H{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（8-4\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了几何变换，涉及特殊直角三角形，矩形的判定与性质，平行四边形的判定及性质及三角形的中位线，解题的关键是灵活的运用特殊直角三角形．