题目内容
数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？
为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：
数学模型：在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？
为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
（1）在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=4=
种不同的取法．
（2）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法： 1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5； 5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=6=
种不同的取法．
（3）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+6，2+5，2+6，3+4，3+5，3+6，4+3，4+5，4+6，5+2，5+3，5+4，5+6，6+1，6+2，6+3，6+4，6+5；而1+6与6+1，2+5与5+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=9=
种不同的取法．
（4）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+7，2+6，2+7，3+5，3+6，3+7，4+5，4+6，4+7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7+4，7+5，7+6；而1+7与7+1，2+6与6+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
=12=
种不同的取法…
问题解决：
依照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题
（1）在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有 种不同的取法；（只填结果）
（2）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有 种不同的取法；（只填最简算式）
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有 种不同的取法；（只填最简算式）
（4）各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
问题拓展：
（5）在1～100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有 种不同的取法；（只填结果）
（6）各边长都是整数，最大边长为11的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
（7）各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：
数学模型：在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？
为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
（1）在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
| 1+2+2+3 |
| 2 |
| 42 |
| 4 |
（2）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法： 1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5； 5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
| 1+2+2+3+4 |
| 2 |
| 52-1 |
| 4 |
（3）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+6，2+5，2+6，3+4，3+5，3+6，4+3，4+5，4+6，5+2，5+3，5+4，5+6，6+1，6+2，6+3，6+4，6+5；而1+6与6+1，2+5与5+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
| 1+2+3+3+4+5 |
| 2 |
| 62 |
| 4 |
（4）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+7，2+6，2+7，3+5，3+6，3+7，4+5，4+6，4+7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7+4，7+5，7+6；而1+7与7+1，2+6与6+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
| 1+2+3+3+4+5+6 |
| 2 |
| 72-1 |
| 4 |
问题解决：
依照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题
（1）在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有
（2）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有
（4）各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
问题拓展：
（5）在1～100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有
（6）各边长都是整数，最大边长为11的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
（7）各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
考点：三角形边角关系
专题：
分析：（1）首先根据题意可得规律：1～n，当n为偶数时，不同的取法有：
，1～n，当n为奇数时：不同的取法有：
；则可求得使得所取的两个数之和大于21的不同取法；
（2）可得1～n，当n为偶数时，不同的取法有：
；
（3）1～n，当n为奇数时：不同的取法有：
；
（4）可得①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有110种不同的取法；②若另两个数相同，则11+11，12+12，…，21+21，共11种不同的取法；继而求得答案；
（5）根据规律，可求得在1～100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有2500种不同的取法；
（6）同（4）可求得各边长都是整数，最大边长为11的三角形有多少个；
（7）由（4）可得各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？
| n2 |
| 4 |
| n2-1 |
| 4 |
（2）可得1～n，当n为偶数时，不同的取法有：
| n2 |
| 4 |
（3）1～n，当n为奇数时：不同的取法有：
| n2-1 |
| 4 |
（4）可得①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有110种不同的取法；②若另两个数相同，则11+11，12+12，…，21+21，共11种不同的取法；继而求得答案；
（5）根据规律，可求得在1～100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有2500种不同的取法；
（6）同（4）可求得各边长都是整数，最大边长为11的三角形有多少个；
（7）由（4）可得各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？
解答：解：（1）当n=21时，
=110．
故答案为：110；
（2）根据题意可得：1～n，当n为偶数时，不同的取法有：
，
故答案为：
；
（3）根据题意可得：1～n，当n为奇数时：不同的取法有：
；
故答案为：
；
（4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有110种不同的取法；
②若另两个数相同，则11+11，12+12，…，21+21，共11种不同的取法；
∴各边长都是整数，最大边长为21的三角形有：110+21=131（个）；
答：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有131个；
（5）在1～100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有
=2500种不同的取法；
故答案为：2500；
（6）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有
=30种不同的取法；
②若另两个数相同，则5+5，6+6，…，11+11，共7种不同的取法；
∴各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+11=41（个）；
答：各边长都是整数，最大边长为11的三角形有41个；
（7）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于31，有
=240种不同的取法；
②若另两个数相同，则16+16，17+17，…，31+31，共16种不同的取法；
∴各边长都是整数，最大边长为31的三角形有：240+16=156（个）；
答：各边长都是整数，最大边长为31的三角形有256个．
| 212-1 |
| 4 |
故答案为：110；
（2）根据题意可得：1～n，当n为偶数时，不同的取法有：
| n2 |
| 4 |
故答案为：
| n2 |
| 4 |
（3）根据题意可得：1～n，当n为奇数时：不同的取法有：
| n2-1 |
| 4 |
故答案为：
| n2-1 |
| 4 |
（4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有110种不同的取法；
②若另两个数相同，则11+11，12+12，…，21+21，共11种不同的取法；
∴各边长都是整数，最大边长为21的三角形有：110+21=131（个）；
答：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有131个；
（5）在1～100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有
| 1002 |
| 4 |
故答案为：2500；
（6）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有
| 112-1 |
| 4 |
②若另两个数相同，则5+5，6+6，…，11+11，共7种不同的取法；
∴各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+11=41（个）；
答：各边长都是整数，最大边长为11的三角形有41个；
（7）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于31，有
| 312-1 |
| 4 |
②若另两个数相同，则16+16，17+17，…，31+31，共16种不同的取法；
∴各边长都是整数，最大边长为31的三角形有：240+16=156（个）；
答：各边长都是整数，最大边长为31的三角形有256个．
点评：此题考查了三角形的三边关系．此题属于规律题，能得到1～n，当n为偶数时，不同的取法有：
，1～n，当n为奇数时：不同的取法有：
；是解此题的关键．
| n2 |
| 4 |
| n2-1 |
| 4 |
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