题目内容

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2-（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．
（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；
（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；
（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．
解答：解：（1）令mx2-（m+n）x+n=0，则
△=（m+n）2-4mn=（m-n）2，
∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，
∴A（0，n），且n＞0，
又∵m＜0，
∴m-n＜0，
∴△=（m-n）2＞0，
∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；

（2）令mx2-（m+n）x+n=0，
解得：x1=1，x2=
n
m
，
由（1）得
n
m
＜0，故B的坐标为（1，0），
又因为∠ABO=45°，
所以A（0，1），即n=1，
则可求得直线AB的解析式为：y=-x+1．
再向下平移2个单位可得到直线l：y=-x-1；

（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2-（m+1）x+1．
∵M（p，q） 为二次函数图象上的一个动点，
∴q=mp2-（m+1）p+1．
∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．
∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．
∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，
当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；     
结合图象可知：-（12m+4）≤2，
解得：m≥-
1
2
．
∴m的取值范围为：-
1
2
≤m＜0．
点评：此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．
练习册系列答案
相关题目
参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表．
住院医疗费 报销率（%）
不超过500元部分 10
超过500元不超过1000元的部分 30
超过1000元不超过3000元的部分 60
超过3000元部分 90
某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是
 
．
数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？
为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：
数学模型：在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？
为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
（1）在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
1+2+2+3
2
=4=
42
4
种不同的取法．
（2）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法： 1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5； 5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
1+2+2+3+4
2
=6=
52-1
4
种不同的取法．
（3）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+6，2+5，2+6，3+4，3+5，3+6，4+3，4+5，4+6，5+2，5+3，5+4，5+6，6+1，6+2，6+3，6+4，6+5；而1+6与6+1，2+5与5+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有 
1+2+3+3+4+5
2
=9=
62
4
 种不同的取法．
（4）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+7，2+6，2+7，3+5，3+6，3+7，4+5，4+6，4+7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7+4，7+5，7+6；而1+7与7+1，2+6与6+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有
1+2+3+3+4+5+6
2
=12=
72-1
4
种不同的取法…
问题解决：
依照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题
（1）在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有
 
种不同的取法；（只填结果）
（2）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有
 
种不同的取法；（只填最简算式）
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，有
 
种不同的取法；（只填最简算式）
（4）各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
问题拓展：
（5）在1～100这100个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于100，有
 
种不同的取法；（只填结果）
（6）各边长都是整数，最大边长为11的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
（7）各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）
在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F． 
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求tan∠BOC的值；  
（3）设△AGE，△EFO，△BFH的面积分别为S1，S2，S3，求S1：S2：S3 的值．
请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．a2-1，ab-b，b+ab．
（1）构造的分式是：
 
．
（2）化简：
 
．
解下列方程组
（1）
x-2y=0
3x+2y=8
；
（2）
3x+4y=2
2x-y=5
；
（3）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：
x-3(x-1)≤7      ①
1-
2-5x
3
＜x      ②
．
因式分解：x2（y-z）3+y2（z-x）3+z2（x-y）3．
已知：A、B、C为数轴上三个运动的点，速度分别为a个单位/秒、b个单位/秒和c个单位/秒（a、b、c为正整数），且满足|5-a|+（b-3）2=1-c．
（1）求A、B、C三点运动的速度；
（2）若A、B两点分别从原点出发，向数轴正方向运动，C从表示+20的点出发同时向数轴的负方向运动，几秒后，C点恰好为AB的中点？
（3）如图，若一把长16cm的直尺一端始终与C重合（另一端D在C的右边），且M、N分别为OD、OC的中点，在C点运动过程中，试问：MN的值是否变化？若变化，求出其取值范围；若不变，请求出其值．
如图，点A、B、C为⊙O上的三点，连接AC，若∠OCA=40°，则∠ABC的度数为
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网