Question

12．如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P=$\frac{3}{4}$，AD=6，求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．
（2）由OC∥AD，推出$\frac{OC}{AD}$=$\frac{OP}{AP}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{10-r}{10}$，解得r=$\frac{15}{4}$，由BE∥PD，AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P，由此即可计算．

解答 解：（1）结论：PC是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠CAB，
又∵∠CAB=∠ACO，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥PD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=$\frac{3}{4}$，
∴PD=8，AP=10，设半径为r，
∵OC∥AD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{OP}{AP}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{10-r}{10}$，
解得r=$\frac{15}{4}$，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠D=90°，
∴BE∥PD，
∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=$\frac{15}{4}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．