Question

2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，且$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，E是AB延长线上一点，且BE=AB，F是EC的中点．
（1）探索BF与BD之间的数量关系，并说明理由；
（2）设G是BD的中点，在⊙O上是否存在点P（点B除外），使得PG=PF？试证明．

Answer 1

分析 （1）先判断出BF是△EAC的中位线，得到BF=$\frac{1}{2}$AC，再判断出BD=AC，即可得出结论；
（2）方法1、先判断出BG=BF，再判断出∠PBG=∠PBF，进而得出△PBG≌△PBF，即可得出结论．
方法2、作∠DBF的平分线交圆于P，再判断出BG=BF，即可得出△PBG≌△PBF，即可得出结论．

解答 解：（1）BF=$\frac{1}{2}$BD，
理由：如图1，连接AC，
∵F是EC的中点，
∴CF=EF，
∵BE=AB，
∴BF是△EAC的中位线，
∴BF=$\frac{1}{2}$AC，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∴$\widehat{BD}=\widehat{AC}$，
∴BD=AC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD；

（2）⊙O上存在点P，使PG=PF，
方法1、理由：如图2，过点B作BP⊥AE交⊙O于点P，连接PG，PF，AC，
由（1）知BF=$\frac{1}{2}$BD，
∵G是BD的中点，
∴BG=$\frac{1}{2}$BD，
∴BG=BF，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠BAC=∠EBF，
∴∠EBF=∠ABD，
∵BP⊥AE，
∴∠ABP=∠EBP=90°，
∴∠PBG=∠PBF，
在△PBG和△PBF中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{∠PBG=∠PBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△PBG≌△PBF（SAS），
∴PG=PF，
即存在满足条件的点P．

方法2、如图2，作∠DBF的平分线交⊙O于点P，连接PG，PF，
∴∠PBG=∠PBF，
由（1）知BF=$\frac{1}{2}$BD，
∵G是BD的中点，
∴BG=$\frac{1}{2}$BD，
∴BG=BF，
在△PBG和△PBF中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{∠PBG=∠PBF}\\{BG=BF}\end{array}\right.$，
∴△PBG≌△PBF（SAS），
∴PG=PF，
即存在满足条件的点P．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，等弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是得出BF=$\frac{1}{2}$AC，解（2）的关键是判断出∠PBG=∠PBF，是一道中等难度的题目．