Question

4．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置并写出点M的坐标；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），求证直线CD是⊙M的切线．

Answer 1

分析 （1）作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，由图形可知：这点的坐标是（2，0）；
（2）设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD．得出CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，根据勾股定理求出MC²=20，CD²=5，推出∠MCD=90°，根据切线的判定推出即可．

解答 解：（1）如图1，连接AB、BC，
作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，
由图形可知：这点的坐标是（2，0），
∴圆弧所在圆的圆心M点的坐标是（2，0）；

（2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而可得B（4，4）、C（6，2），
如图2，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD．
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，
∴∠MCE=90°，
∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．

点评 本题考查了勾股定理，切线的判定等，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．