Question

1．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AF=EF，∠BAF=108°，∠CDF=36°，直接写出图中所有的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据平行线的性质得到∠ABF=∠CDF=36°，根据三角形的内角和得到∠AFB=180°-108°-36°=36°，即可得到结论．

解答 （1）证明：如图，连接AC交BD于点O，
在?ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDF=36°，
∴∠AFB=180°-108°-36°=36°，
∴AB=AF，
∵AF=EF，
∴△ABF和△AFE是等腰三角形，
同理△EFC与△CDE是等腰三角形．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，作出辅助线是解题的关键．