Question

15．如图，在Rt△ABC中，点D在BC上，∠ADC=45°，DC=6，sinB=$\frac{3}{5}$，求∠BAD的正切值．

Answer 1

分析 由已知∠ADC=45°，DC=6，可求出CD、AD的长，由sinB=$\frac{3}{5}$，AC=6，可求出AB、BC、CD的长．要求∠BAD的正切值，需构造直角三角形，过点D作DE⊥AB，求AE、DE的长是关键，在Rt△BDE中，由sinB、BD求出DE、BE的长．

解答 解：过点D作DE⊥AB，垂足为E．
Rt△ADC中，∵∠ADC=45°，AC=6，
∴CD=6，AD=6$\sqrt{2}$．
在Rt△ABC中，∵AC=6，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{AC}{sinB}=\frac{6}{\frac{3}{5}}=10$，
由勾股定理，得BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．
∴BD=BC-CD=8-6=2．
在Rt△BDE中，DE=sinB×BD=$\frac{3}{5}$×2=$\frac{6}{5}$．
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$
=$\sqrt{（{6\sqrt{2}）}^{2}-（\frac{6}{5}）^{2}}$
=$\frac{42}{5}$
∴tan∠BAD=$\frac{DE}{AE}$
=$\frac{6}{5}×\frac{5}{42}$
=$\frac{1}{7}$．

点评 本题主要考查了锐角三角函数、勾股定理等相关知识．由题目要求构造直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的边角关系及勾股定理是解决本题的关键．