Question

20．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别为边AB，BC，AD上的点，且AE=BF=DG，连接EF，GE，GF．
（1）△BEF可以看成是△AGE绕点M逆时针旋转α角所得，请在图中画出点M，并直接写出α角的度数；
（2）当点E位于何处时，△EFG的面积取得最小值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD交GF于点M即可，根据题意确定旋转角；
（2）设正方形边长为a，AE=BF=DG=x，证明Rt△GAE和Rt△EBF，得到∠GEF是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质得到答案．

解答 解：（1）如图，连接BD交GF于点M，则点M即为所求，
旋转α=∠AMB=90°；
（2）当点E位于AB的中点时，△EFG面积取得最小值．
理由如下：设正方形边长为a，AE=BF=DG=x，
则AG=a-x，
在Rt△GAE中，GE²=AG²+AE²=（a-x）²+x²=2x²-2ax+a²，
在Rt△GAE和Rt△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{GA=EB}\\{∠DAB=∠ABC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△GAE和Rt△EBF，
∴GE=FE，∠AEG=∠BFE，
∴∠GEF是等腰直角三角形，
∴△EFG的面积=$\frac{1}{2}$GE²=（x-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{1}{4}$a²，
所以当x=$\frac{1}{2}$a，即点E位于AB的中点时，△EFG面积取得最小值；

点评 本题考查的是正方形的性质、旋转的性质以及二次函数的性质，正确根据题意列出二次函数解析式是解题的关键．