Question

7．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，且AC平分∠DAB．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC=8，BD=6，试求点O到AB的距离．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的对边平行得∠DAC=∠BCA，由角平分线的性质得∠DAC=∠BAC，即可知∠BCA=∠BAC，从而得AB=BC，即可得证；
（2）由菱形的对角线互相垂直且平分得AO=4、BO=3且∠AOB=90°，利用勾股定理得AB=5，根据S_△AOB=$\frac{1}{2}$×AB•h=$\frac{1}{2}$×AO×BO可得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，且AC=8、BD=6，
∴AO=4、BO=3，且∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5，
设点O到AB的距离为h，
则由S_△AOB=$\frac{1}{2}$×AB•h=$\frac{1}{2}$×AO×BO，即5h=12，
得h=$\frac{12}{5}$，
即点O到AB的距离为$\frac{12}{5}$．

点评 本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．