Question

3．将一个矩形减去一个正方形所剩的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 设原矩形的长与宽分别为x、y，表示出剩下矩形的长与宽，然后根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求解．

解答 解：设原矩形的长与宽分别为x、y，则剩下矩形的长是y，宽是x-y，
∵剩下的矩形与原矩形相似，
∴$\frac{x}{y}=\frac{y}{x-y}$，
整理得，x²-xy-y²=0，
解得x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$y或x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$y（舍去），
∴原矩形的宽与长的比为$\frac{y}{x}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题主要考查了多边形对应边成比例的性质，表示出剩下的矩形的长与宽是解题的关键．