题目内容
如图，点B、点C都在x轴上，其中点B（-30，0）、C（-20，0），A在第二象限中，△ABO中，∠ABO=45°，∠AOB=30°，过点C作x轴的垂线，与AO交于点E．（1）求点E的坐标；
（2）过点C作CG⊥AO，垂足为G，求△CEG的面积；
（3）已知点F为OC中点，在△ABO的边上取两点P、Q，是否存在以C、P、Q为顶点的三角形与△CFP全等，且这两个三角形在CP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质
专题：
分析：（1）由∠AOB=30°和OC=20可求得CE的长度，则可得出E点坐标；
（2）由（1）可求得CG的长度，在Rt△CEG中利用三角函数可求得EG，可求得△CEG的面积；
（3）分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即 可．
（2）由（1）可求得CG的长度，在Rt△CEG中利用三角函数可求得EG，可求得△CEG的面积；
（3）分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即 可．
解答：解：（1）∵C（-20，0），
∴OC=20，且∠AOB=30°，
∴EC=OCtan30°=20×
=
，
∴E点坐标为（-20，
）；
（2）∵CE⊥BO，
∴∠CEG=90°-∠AOB=60°，
在Rt△CEG中，CE=
，
∴EG=
CE=
，CG=
CE=10，
∴S△CEG=
EG•CG=
×
×10=
；
（3）存在，
∵∠AOB=30°，
∴直线AO的解析式为y=-
x，
①当点Q在AO上时，Q即为G点，
如图1，作∠OCF的角平分线，交AO于点P1，
由△CQP1≌△CFP1，则有P1F⊥x轴，
此时P1点的横坐标为-10，代入AO解析式可求得y=
，
即P1坐标为（-10，
）；
②当点Q在AB上时，如图2，有CQ=CF，作∠FCQ的角平分线交AO于点P2，
过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，
则BH=QH=10-a，
在Rt△CQH中，a2+（10-a）2=100，
解得：a=0，即此时不存在满足条件的P点．
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（-10，
）．
∴OC=20，且∠AOB=30°，
∴EC=OCtan30°=20×
| ||
| 3 |
20
| ||
| 3 |
∴E点坐标为（-20，
20
| ||
| 3 |
（2）∵CE⊥BO，
∴∠CEG=90°-∠AOB=60°，
在Rt△CEG中，CE=
20
| ||
| 3 |
∴EG=
| 1 |
| 2 |
10
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| 3 |
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| 2 |
∴S△CEG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
10
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| 3 |
50
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| 3 |
（3）存在，
∵∠AOB=30°，
∴直线AO的解析式为y=-
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①当点Q在AO上时，Q即为G点，
如图1，作∠OCF的角平分线，交AO于点P1，
由△CQP1≌△CFP1，则有P1F⊥x轴，
此时P1点的横坐标为-10，代入AO解析式可求得y=
10
| ||
| 3 |
即P1坐标为（-10，
10
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②当点Q在AB上时，如图2，有CQ=CF，作∠FCQ的角平分线交AO于点P2，
过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，
则BH=QH=10-a，
在Rt△CQH中，a2+（10-a）2=100，
解得：a=0，即此时不存在满足条件的P点．
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（-10，
10
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| 3 |
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
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