Question

20．如图，直线y₁=kx+b与反比例函数y₂=$\frac{k′}{x}$（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，4），点B的横坐标为-4．
（1）试确定反比例函数和直线AB的解析式；
（2）求△AOB的面积．
（3）观察图象，请直接写出当y₁＞y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式，由点B的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）过点B作BD∥x轴交OA于点D，由点A的坐标利用待定系数法即可求出直线OA的解析式，结合点B的坐标即可得出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可得出当y₁＞y₂时x的取值范围．

解答 解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数y₂=$\frac{k′}{x}$的图象上，
∴k′=-2×4=-8，
∴反比例函数解析式为y₂=-$\frac{8}{x}$．
∵点B在反比例函数y₂=-$\frac{8}{x}$的图象上，且点B的横坐标为-4，
∴点B的坐标为（-4，2）．
将A（-2，4）、B（-4，2）代入y₁=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{-4k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+6．
（2）过点B作BD∥x轴交OA于点D，如图所示．
设直线OA的解析式为y=mx，
将A（-2，4）代入y=mx，
4=-2m，解得：m=-2，
∴直线OA的解析式为y=-2x，
∴点D的坐标为（-1，2），
∴BD=-1-（-4）=3．
∴S_△AOB=S_△ABD+S_△OBD=$\frac{1}{2}$×3×（4-2）+$\frac{1}{2}$×3×（2-0）=6．
（3）观察函数图象可知：当-4＜x＜-2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当y₁＞y₂时，x的取值范围为-4＜x＜-2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积；（3）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集．