Question

20．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象有公共点A（1，a）、D（-2，-1）．直线l与x轴垂直于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由反比例函数经过点D（-2，-1），即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）结合图象求解即可求得x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）首先过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，由直线l与x轴垂直于点N（3，0），可求得点E，B，C的坐标，继而求得答案．

解答 解：（1）∵反比例函数经过点D（-2，-1），
∴把点D代入y=$\frac{m}{x}$（m≠0），
∴-1=$\frac{m}{-2}$，
∴m=2，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{2}{x}$，
∵点A（1，a）在反比例函数上，
∴把A代入y=$\frac{2}{x}$，得到a=$\frac{2}{1}$=2，
∴A（1，2），
∵一次函数经过A（1，2）、D（-2，-1），
∴把A、D代入y=kx+b  （k≠0），得到：$\left\{\begin{array}{l}{2=k+b}\\{-1=-2k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；

（2）如图：当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；

（3）过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，
∵直线l⊥x轴，N（3，0），
∴设B（3，p），C（3，q），
∵点B在一次函数上，
∴p=3+1=4，
∵点C在反比例函数上，
∴q=$\frac{2}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•EN=$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{2}{3}$）×（3-1）=$\frac{10}{3}$．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．注意掌握待定系数法求函数解析式是解此题的关键．