Question

3．如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC，E是BC上一点，AE与CD交于点F，若BE=6，tan∠ABC=$\frac{2}{3}$，tan∠AEC=$\frac{5}{3}$，则圆的直径是10，$\frac{AF}{FE}$=$\frac{10}{9}$．

Answer 1

分析 作EM⊥AB于M，根据tan∠ABC=$\frac{2}{3}$，tan∠AEC=$\frac{5}{3}$，求出EC、BC与AC的关系，再根据BC-EC-BE=6，列出方程求出AC，由此即可求出直径，第二个问题注意求出AD：BD、DM：BD的值即可解决问题．

解答 解：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABC+∠BCD=90°，∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2}{3}$，tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$=$\frac{5}{3}$，
∴EC=$\frac{3}{5}$AC，BC=$\frac{3}{2}$AC，
∵BC-EC=BE=6，
∴$\frac{3}{2}$AC-$\frac{3}{5}$AC=6，
∴AC=$\frac{20}{3}$，
∴BC=$\frac{3}{2}$×$\frac{20}{3}$=10．
作EM⊥AB于M，
∵∠CAD=∠CBA，∠BCA=∠CDA，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$，同理BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，
∴AD=$\frac{4}{9}$BD，
∵EM∥CD，
∴$\frac{DM}{BD}$=$\frac{EC}{CB}$，
∴DM=$\frac{2}{5}$BD，
∵EM∥DF，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AD}{DM}$=$\frac{10}{9}$．
故答案分别为10，$\frac{10}{9}$

点评 本题考查相似三角形、圆周角定理、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．属于中考常考题型