Question

2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠ACB，过BC中点M作AD垂线，交AD、AB的延长线于F、E，过点C作CQ∥ME交AB延长线于点Q．
（1）若∠ABC=60°，AB=2，求EM的长；
（2）求证：BE=$\frac{1}{2}$BD．

Answer 1

分析 （1）如图1中，首先证明△ABC是直角三角形，求出AQ、AC、QC，根据三角形中位线定理即可求出EM．
（2）如图2中，连接QD，延长AF交QC于H．首先证明△AQD≌△ACD，推出AQ=AC，∠AQD=∠ACB，只要证明BQ=BD，BE=EQ即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵∠ABC=2∠ACB，∠ABC=60°，
∴∠ACB=30°，∠BAC=90°，
∵AB=2，
∴BC=2AB=4，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠EAF=∠CAF=45°，AF⊥EF，
∴∠AEF=45°，
∵QC∥EM，
∴∠Q=∠AEF=45°，
∴∠Q=∠ACQ=45°，
∴AQ=AC=2$\sqrt{3}$，
∴QC=$\sqrt{A{Q}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵BM=MC，EM∥CQ，
∴BE=EQ，
∴EM=$\frac{1}{2}$CQ=$\sqrt{6}$．

（2）如图2中，连接QD，延长AF交QC于H．

∵EM∥QC⊥EM，
∴AH⊥QC，
∵∠HAQ=∠HAC，
∠HAQ+∠AQH=90°，∠HAC+∠ACH=90°，
∴∠AQC=∠ACQ，
∴AQ=AC，
∵AD=AD，∠QAD=∠CAD，AQ=QC，
∴△AQD≌△ACD，
∴∠AQD=∠ACB，
∵∠ABC=∠AQD+∠BDQ=2∠ACB=2∠AQD，
∴∠BQD=∠BDQ，
∴BD=BQ，
∵BM=MC，EM∥CQ，
∴EB=EQ，
∴BD=2BE，即BE=$\frac{1}{2}$BD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．