Question

如图，已知四边形ABCD中，∠D=∠B=90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，
（1）求证：AE∥CF；（证明过程已给出，请在下面的括号内填上适当的理由）
证明：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°（ 四边形内角和为360°）
∴∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°

 

∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，（已知）
∴∠1=

1

2

∠DAB，∠2=

1

2

∠DCB

 

∴∠1+∠2=

1

2

（∠DAB+∠DCB）=90°（等式性质）
又∵∠3+∠2+∠B=180°

 

∴∠3+∠2=180°-∠B=90°
∴∠1=∠3

 

，
∴AE∥CF

 

（2）若∠DAB=50°，求∠AEC的度数．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：推理填空题

分析：（1）求出∠DAB+∠DCB=180°，求出∠2+∠1=90°，推出∠1=∠3，根据平行线的判定得出即可；
（2）求出∠DAE的度数，根据三角形外角性质求出即可．

解答：（1）证明：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°，
∴∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°（等式的性质），
∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，
∴∠1=

1

2

∠DAB，∠2=

1

2

∠DCB（角平分线定义），
∴∠1+∠2=

1

2

（∠DAB+∠DCB）=90°，
∵∠3+∠2+∠B=180°（三角形内角和定理），
∴∠3+∠2=180°-∠B=90°，
∴∠1=∠3（同角的余角相等），
∴AE∥CF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：（等式的性质），（角平分线定义），（三角形内角和定理），（同角的余角相等），（同位角相等，两直线平行）；

（2）解：∵∠DAB=50°，AE平分∠DAB，
∴∠DAE=

1

2

∠DAB=25°，
∵∠D=90°，
∴∠AEC=∠DAE+∠D=115°．

点评：本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．