题目内容
如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．
（1）AE= ，正方形ABCD的边长= ；
（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．
（1）AE=
（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．
考点：几何变换综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用
专题：几何综合题,压轴题
分析：（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；
（2）①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），求出∠B′AD′与α的数量关系即可；
②首先过点E作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α=30°，则∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．
（2）①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），求出∠B′AD′与α的数量关系即可；
②首先过点E作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α=30°，则∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．
解答：解：（1）由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
在△AED和△DGC中，
，
∴△AED≌△DGC（AAS），
∴AE=GD=1，
又∵DE=1+2=3，
∴正方形ABCD的边长=
=
，
故答案为：1，
；
（2）①∠B′AD′=90°-α；
理由：过点B′作B′M垂直于l1于点M，
在Rt△AED′和Rt△B′MA中，
，
∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），
∴∠D′AE+∠B′AM=90°，
∠B′AD′+α=90°，
∴∠B′AD′=90°-α；
②过点E作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，
若α=30°，
则∠ED′N=60°，AE=1，
故EO=
，EN=
，ED′=
，
由勾股定理可知菱形的边长为：
=
=
．
∴∠2=∠3，
在△AED和△DGC中，
|
∴△AED≌△DGC（AAS），
∴AE=GD=1，
又∵DE=1+2=3，
∴正方形ABCD的边长=
| 12+32 |
| 10 |
故答案为：1，
| 10 |
（2）①∠B′AD′=90°-α；
理由：过点B′作B′M垂直于l1于点M，
在Rt△AED′和Rt△B′MA中，
|
∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），
∴∠D′AE+∠B′AM=90°，
∠B′AD′+α=90°，
∴∠B′AD′=90°-α；
②过点E作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，
若α=30°，
则∠ED′N=60°，AE=1，
故EO=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
5
| ||
| 3 |
由勾股定理可知菱形的边长为：
|
| ||
| 3 |
2
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| 3 |
点评：此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．
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