Question

15．如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在同一直线上，连接BE，AD．
（1）求证：BE=AD；
（2）如图②，点P为线段BE上一点，点F为线段AD上一点，AF=BP，连接AP，CP，PF，若PF⊥AD，求∠BPC的度数；
（3）如图③，若点P在线段BE上，点Q在线段AD上，且BP=AQ，将线段CD沿AD翻折得到C′D，当∠BPC等于多少度时，△QCC′为等边三角形？直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质和已知条件证明△ACD≌△BCE即可；
（2）连接CF，由AD=BE，AF=BP，得到PE=FD，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，CE=CD，推出△FDC≌△PEC，根据全等三角形的性质得到∠CPE=∠CFD，∠DBE=∠CAD，得到∠PCF=60°，证得△PCF是等边三角形，求出∠FPC=60°，根据三角形的内角和得到∠FPM=30°，即可得到结论；
（3）如图③，由C与C′关于AD对称，得到CC′⊥AD，由△C′QC是等边三角形，求得∠QCC′=60°，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD于△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；

（2）解：如图②连接CF，
∵AD=BE，AF=BP，
∴AD-AF=BE-BP，
∴PE=FD，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，CE=CD，
在△FDC与△PEC中，$\left\{\begin{array}{l}{PE=DF}\\{∠FDC=∠PEC}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△FDC≌△PEC，
∴∠CPE=∠CFD，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠DBE=∠CAD，
∴∠BMA=∠EBD+∠ADB=60°，
∴∠PCF=60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠FPC=60°，
∵PF⊥AD，∠FMP=60°，
∴∠FPM=30°，
∴∠CPM=30°，
∴∠BPC=180°-30°=150°；

（3）解：如图③，∵C与C′关于AD对称，
∴CC′⊥AD，
∵△C′QC是等边三角形，
∴∠QCC′=60°，
∴∠CQD=30°，
在△BPC与△ACQ中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBP=∠CAQ}\\{BP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△ACQ，
∴∠BCP=∠ACQ，
∴∠PCQ=∠BCA=60°，
∴∠PCE=60°+∠QCE=∠DCQ，
∵∠QDC=∠PEC，
∴∠CQD=∠CPE=30°
∴∠BPC=150°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．