Question

20．如图，直线MN交⊙O于点A、B，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于点E．
（1）DE与⊙O有何位置关系？说明理由；
（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠1=∠2，证出∠1=∠3，得出MN∥OD，证出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC=90°，由勾股定理求出AD，证明△ADC∽△AED，得出对应边成比例$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$，求出直径AC，即可得出⊙O的半径．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∵AD平分∠CAM，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴MN∥OD，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接CD，如图2所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$（cm），
∵DE⊥MN，
∴∠AED=90°，
∴∠ADC=∠AED，
又∵∠2=∠3，
∴△ADC∽△AED，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$即$\frac{AC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2}$，
∴AC=10（cm），
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=10cm，
即⊙O的半径为5cm．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．