如图1.平面直角坐标系xOy中.正方形ABCD的边AB在x轴上.点O是AB的中点.直线l:y=kx-2k+4过定点C.交x轴于点E．(1)求正方形ABCD的边长,(2)如图2.当k=-$\frac{4}{3}$时.过点C作FC⊥CE.交AD于点F.连接EF.BD相交于点H.BD交y轴于G.求线段GH的长．(3)如图3.在直线l上有一点N.CN=$\frac{1}{2}AB$.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图1，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点O是AB的中点，直线l：y=kx-2k+4过定点C，交x轴于点E．
（1）求正方形ABCD的边长；
（2）如图2，当k=-$\frac{4}{3}$时，过点C作FC⊥CE，交AD于点F，连接EF，BD相交于点H，BD交y轴于G，求线段GH的长．
（3）如图3，在直线l上有一点N，CN=$\frac{1}{2}AB$，连接AN，点M为AN的中点，连接BM，求线段BM的长度的最小值，并求出此时点N的坐标．

分析（1）由y=kx-2k+4，可得y-4=k（x-2），由y=kx-2k+4过定点，则x与y的值与k无关，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，进而得出C点的坐标，即可得出正方形ABCD的边长为4，
（2）由k=-$\frac{4}{3}$时，得出直线l的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，从而得出点E的坐标，由FC⊥CE，∠DCB=90°，∠DCF=∠BCE，可得△DCF≌△BCE（ASA），由DF=BE=5-2=3，AF=1，得出点F（-2，1），由直线EF的解析式为y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{5}{7}$，直线BD的解析式为y=-x+2，联立得得出G（0，2），利用两点间的距离可得出GH的值，
（3）在x轴上截取BP=AB，连接NP、CP，由CN=$\frac{1}{2}$AB=2，CP=4$\sqrt{2}$，可得NP≤CP-CN=4$\sqrt{2}$-2，所以当C、N、P三点共线时，取得最大值，又由M为AN的中点，B为AP的中点，得出线段BM的长度的最小值为BM=$\frac{1}{2}$NP≤2$\sqrt{2}$-1，利用相似三角形相似比可得出N的坐标．

解答解：（1）由y=kx-2k+4，得y-4=k（x-2），
∵直线l：y=kx-2k+4过定点，则x与y的值与k无关，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴C（2，4），
∴正方形ABCD的边长为4，
（2）当k=-$\frac{4}{3}$时，直线l的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
当y=0时，x=5，
∴E（5，0），
∵FC⊥CE，∠DCB=90°，
∴∠DCF=∠BCE，
在△DCF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠BCE}\\{CD=CB}\\{∠CDF=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△BCE（ASA），
∴DF=BE=5-2=3，AF=1，
∴F（-2，1）
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{1}{7}$x+$\frac{5}{7}$，
∵B（2，0），D（-2，4），
∴直线BD的解析式为y=-x+2，
联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵G（0，2），
∴GH=$\sqrt{（\frac{3}{2}-0）^{2}+（\frac{1}{2}-2）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
（3）如图3，在x轴上截取BP=AB，连接NP、CP，

∵CN=$\frac{1}{2}$AB=2，CP=4$\sqrt{2}$，
∴NP≤CP-CN=4$\sqrt{2}$-2，
当C、N、P三点共线时，取得最大值，
又∵M为AN的中点，B为AP的中点，
∴线段BM的长度的最小值为BM=$\frac{1}{2}$NP≤2$\sqrt{2}$-1，
所以线段BM的长度的最小值为2$\sqrt{2}$-1；
如图4，C、N、P三点共线，

BE=4，EN=4$\sqrt{2}$-2，
设N（x，y），$\frac{y}{BC}$=$\frac{EN}{EC}$，得$\frac{y}{4}$=$\frac{4\sqrt{2}-2}{4\sqrt{2}}$，解得y=4-$\sqrt{2}$，
$\frac{6-x}{4}$=$\frac{4\sqrt{2}-2}{4\sqrt{2}}$，解得x=2+$\sqrt{2}$
∴此时N（2+$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{2}$）．