Question

19．如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，且A′B′=2AB．已知mn=3（m，n为正实数），在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则t的值等于（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根据位似变换的性质和中心对称图形的概念求出C′点的坐标，根据题意得到反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象经过C′点，代入计算即可．

解答 解：∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，A′B′=2AB，顶点A的坐标为（1，t），
∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，
∴点C的坐标为（-1，-t），矩形A′B′C′D′也关于点O成中心对称，
∴C′点的坐标是（-2，-2t），
∵mn=3，
即n=$\frac{3}{m}$，
∵以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，
∴反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象只经过点A′或C′，
∵矩形A′B′C′D′关于点O成中心对称，反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象关于点O成中心对称，
∴反比例函数n=$\frac{3}{m}$的图象经过C′点，
∴-2•（-2t）=3，
解得t=$\frac{3}{4}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了位似变换问题，解答此题的关键是要明确：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．