Question

6．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB，AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE，DG．

（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；
（2）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=3$\sqrt{3}$．
①求BE的长；②求点A到BE的距离；
（3）当点C落在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再根据余角的性质，可得∠BAE=∠DAG，然后利用“SAS”证明△ABE≌△ADG，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2））①作BN⊥AE于点N，根据勾股定理得出AN=BN=$\sqrt{2}$，在△BEN中，根据勾股定理即可得出结论；
②作AM⊥BE于点M，根据S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BN=$\frac{1}{2}$BE•AM=3即可得出结论；
（3）分两种情况：①E在BC的右边，连接AC，AF，CF，利用点A，C，E，F四点共圆求解，②E在BC的左边，连接AC，AF，FG，CG，首先确定DG和CG在同一条直线上，再利用点A，C，G，F四点共圆求解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，
又∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE与△ADG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AE=AG\\∠BAE=∠DAG=α\\ AB=AD\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；

（2）①如图1，作BN⊥AE于点N，
∵∠BAN=45°，AB=2，
∴AN=BN=$\sqrt{2}$．
在△BEN中，
∵BN=$\sqrt{2}$，NE=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{31-6\sqrt{6}}$；
②如图1，作AM⊥BE于点M，则S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BN=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
又∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$BE•AM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{31-6\sqrt{6}}$×AM=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴AM=$\frac{6\sqrt{44-9\sqrt{6}}}{31-6\sqrt{6}}$，即点A到BE的距离为$\frac{6\sqrt{44-9\sqrt{6}}}{31-6\sqrt{6}}$．

（3）解：①如图2，连接AC，AF，CF，
∵四边形ABCD与AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFE=45°，
∵∠DCE=90°
∴点A，C，E，F四点共圆，
∵∠AEF是直角，
∴AF是直径，
∴∠ACF=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠FCD=45°
②如图3，连接AC，AF，FG，CG
由（1）知∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG=90°，
∴DG和CG在同一条直线上，
∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，
∵四边形ABCD与AEFG是正方形，
∴∠BAC=∠FAG=45°，
∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，
∴∠AGD+∠GAC=45°，
∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，
∴点A，C，G，F四点共圆，
∵∠AGF是直角，
∴AF是直径，
∴∠ACF=90°，
∴∠FCD=90°+45°=135°
综上所述，∠FCD的度数为45°或135°．

点评 本题主要考查了几何变换综合题．涉及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等积式及四点共圆周的知识，综合性强，解题的关键是运用等积式及四点共圆周判定及性质求解．