题目内容

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（-1，0）、B（5，0）两点，交y轴负半轴于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）如图1，若点C的坐标为（0，-$\frac{20}{9}$），求此抛物线的解析式；
（2）如图2，在（1）的条件下，点P在抛物线的对称轴上，设⊙P的半径为r，当⊙P与x轴和直线BD都相切时，求圆心P的坐标；
（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，求点C的坐标；
（4）如图4，若点C在y轴的负半轴上移动，则△ACD与△ABC的面积之比是否为定值？若是定值，请求出其值；若不是定值，请说明理由．

分析 （1）根据抛物线与x轴的交点可设抛物线的交点式，将点C坐标代入可得；
（2）先求出直线BD的解析式，由⊙P与x轴和直线BD都相切知点P到两直线距离相等，列出方程可求得；
（3）若△ABC是等腰三角形时有AB=AC、BA=BC两种情况，根据勾股定理可分别求出OC的长度即可；
（4）可将A、B坐标代入抛物线的解析式中，求出a、b，a、c的关系，然后将抛物线解析式中的b、c用a替换掉，进而可用a表示出C、D的坐标，然后分别求出三角形ACB和三角形ACD的面积即可．

解答 解：（1）∵抛物线交x轴于A（-1，0）、B（5，0）两点，
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
将C（0，-$\frac{20}{9}$）代入，得a=$\frac{4}{9}$，
故y=$\frac{4}{9}$（x+1）（x-5）；
（2）由（1）知y=$\frac{4}{9}$（x+1）（x-5）=$\frac{4}{9}$（x-2）2-4，
故顶点D的坐标为（2，-4），
设BD所在直线的解析式为：y=kx+b，
将B（5，0），D（2，-4）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
故BD所在直线解析式为：y=$\frac{4}{3}x-\frac{20}{3}$，
由点P在抛物线的对称轴上，可设点P坐标为：（2，m），
∵⊙P与x轴和直线BD都相切，
∴点P到x轴的距离等于点P到直线BD的距离，
即：|m|=$\frac{|\frac{8}{3}-m-\frac{20}{3}|}{\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$，
解得：m=-$\frac{3}{2}$或m=6，
故点P的坐标为（2，-$\frac{3}{2}$）或（2，6）；
（3）若△ABC是等腰三角形时，
①若AB=AC，∵A（-1，0）、B（5，0），
∴OA=1，AC=AB=6，
在RT△AOC中，OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{35}$，
故C点坐标为（0，-$\sqrt{35}$）；
②若BA=BC，则BC=6，BO=5，
在RT△BOC中，OC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
故点C的坐标为（0，-$\sqrt{11}$）；
③CA=CB不符合题意；
综上，若△ABC是等腰三角形时，点C的坐标为（0，-$\sqrt{35}$）或（0，-$\sqrt{11}$）；
（4）△ACD与△ABC的面积之比为定值，
将A（-1，0）、B（5，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{c=-5a}\end{array}\right.$，
故y=ax2-4ax-5a=a（x-2）2-9a，
则C点坐标为（0，-5a），D（2，-9a），
如图：

∵S△ABC=$\frac{1}{2}×6×5a$=15a，
S△ACD=（5a+9a）×2×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×1×5a$-$\frac{1}{2}×3×9a$=3a，
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{3a}{15a}=\frac{1}{5}$，
故△ACD与△ABC的面积之比为定值，定值为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了二次函数解析式的确定、圆的切线性质、等腰三角形、图形面积的求法等知识点，熟悉一些几何基本性质和做法是关键．

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