Question

2．一次函数y=-x+4图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P为正比例函数y=kx（k＞0）图象上一动点，且满足∠PBO=∠POA，则AP的最小值为2$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 先依据条件∠PBO=∠POA，得到点P的运动轨迹为y轴右侧以BO为直径的半圆，再根据AP+CP≥AC，可得当点C、P、A三点共线时，AP有最小值，最后根据AP=AC-CP进行计算即可得到AP的最小值．

解答 解：如图所示，∵∠POA+∠POB=90°，∠PBO=∠POA，
∴∠PBO+∠POB=90°，
∴∠BPO=90°，即BP垂直于直线y=kx（k＞0），
∴点P的运动轨迹为y轴右侧以BO为直径的半圆，
∵一次函数y=-x+4图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴A（4，0），B（0，4），
∴圆心C（0，2），
即AO=4，CO=2，
连接CP，AC，则CP=CO=2，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AP+CP≥AC，
∴当点C、P、A三点共线时，AP有最小值，
此时，AP=AC-CP=2$\sqrt{5}$-2，
故答案为：2$\sqrt{5}$-2．

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是判断点P的运动轨迹为y轴右侧以BO为直径的半圆，依据两点之间，线段最短进行求解．