Question

3．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的交点（x₁，0），（x₂，0），且-1＜x₁＜0＜x₂，有下列5个结论：①abc＜0；②b＞a+c；③a+b＞k（ka+b）（k为常数，且k≠1）；④2c＜3b；⑤若抛物线顶点坐标为（1，n），则b²=4a（c-n），其中正确的结论有（　　）个．

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点可判断①；由x=-1时函数值y＜0可判断②；由当x=1时，函数取得最大值可判断③；由x=-1时，y=a-b+c＜0且a=-$\frac{b}{2}$可判断④；由顶点的纵坐标n=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$可判断⑤．

解答 解：∵抛物线开口向下，且与y轴的交点在正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，故①正确；

由图象知，x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴b＞a+c，故②正确；

∵当x=1时，函数取得最大值，
∴y=a+b+c＞ak²+bk+c（k≠1），
即a+b＞k（ka+b）（k为常数，且k≠1），故③正确；

∵x=-1时，y=a-b+c＜0，且b=-2a，
∴-$\frac{3}{2}$b+c＜0，即2c＜3b，故④正确；

∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴n=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即b²=4a（c-n），故⑤正确；
故选：A．

点评 本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．