Question

19．在等边三角形ABC中，已知点A（-1，-1），且点B，C在函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，则△ABC的边长等于2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 设B（x₀，y₀），则C（$\frac{1}{{x}_{0}}$，$\frac{1}{{y}_{0}}$），根据等边三角形性质得到（x₀+1）²+（y₀+1）²=（x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$）²+（y₀-$\frac{1}{{y}_{0}}$）²，解方程即可得到结论．

解答 解：设B（x₀，y₀），则C（$\frac{1}{{x}_{0}}$，$\frac{1}{{y}_{0}}$），
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∴（x₀+1）²+（y₀+1）²=（x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$）²+（y₀-$\frac{1}{{y}_{0}}$）²，
∵y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴（$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀）²-2（$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀）-9=0，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀=4，或-2（舍去），
∴x₀=2±$\sqrt{3}$，y₀=2±$\sqrt{3}$，
∴B（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$），C（2+$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$），∴BC=2$\sqrt{6}$．
∴△ABC的边长等于2$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，熟记反比例函数的性质是解题的关键．