Question

11．已知关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²-4=0有两个不相等的实数根
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若两个实数根的平方和等于15，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）设此方程的两个实数根为x₁，x₂，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²-4，根据“方程的两个实数根的平方和为15”可得x₁²+x₂²=15，整理后可即可解出k的值．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²-4=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2m+1）]²-4×1×（m²-4）＞0，
∴m＞$\frac{-17}{4}$；

（2）设此方程的两个实数根为x₁，x₂
则x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²-4，
∵两个实数根的平方和等于15，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2m+1）²-2（m²-4）=15，
解得：m=-3，m=1．

点评 此题主要考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
以及根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．