Question

9．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E在AB的延长线上，且AE=AC，联结CE，取CE的中点F，联结BF、DF．
（1）求证：DF⊥BF；
（2）设AC=x，DF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）当DF=2BF时，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）方法一：如图1中，连接AF，只要证明△ABF≌DCF即可．方法二：如图2中，连接BD，与AC相交于点O，联结OF，只要证明OB=OF=OD即可．
（2）由y=DF=$\sqrt{B{D}^{2}-B{F}^{2}}$即可解决问题．
（3）首先证明CE=DF=AF，列出方程即可解决．

解答 （1）证明：方法一：如图1中，连接AF，

∵AE=AC，点F为CE的中点，
∴AF⊥CE，即∠AFC=90°，
∵在矩形ABCD中，AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBE=180°-∠ABC=90°，
∴EF=BF=CF=$\frac{1}{2}CE$，
∴∠FBC=∠FCB，即∠ABC+∠FBC=∠DCB+∠FCB，
∴∠ABF=∠DCF，
在△ABF和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CF}\\{∠ABF=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌DCF，
∴∠AFB=∠DFC，
∴∠BFD=∠AFB+∠AFD=∠AFD+∠DFC=∠AFC=90°，
即DF⊥BF；
方法二：如图2中，连接BD，与AC相交于点O，联结OF，

∵在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OC=OB=OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∵点F是CE的中点，∴OF=$\frac{1}{2}$AE，
∵AE=AC，∴OF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∴OF=OB=OD，
∴∠OBF=∠OFB，∠OFD=∠ODF，
∵∠OBF+∠OFB+∠OFD+∠ODF=180°，
∴2∠OFB+2∠OFD=180°，
∴∠OFB+∠OFD=90°，即∠BFD=90°，∴DF⊥BF；

（2）解：在Rt△ABC中，BC²=AC²-AB²=x²-9，
∵AE=AC=x，∴BE=x-3，
∴EC=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（{x}^{2}-9）+（x-3）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-6x}$，
∴BF=$\frac{1}{2}CE$=$\frac{{\sqrt{2{x^2}-6x}}}{2}$，
∴y=DF=$\sqrt{B{D}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{2{x}^{2}-6x}{4}}$=$\frac{{\sqrt{2{x^2}+6x}}}{2}$，
∴y=$\frac{\sqrt{2{x}^{2}+6x}}{2}$（x＞3）．

（3）∵△ABF≌DCF，∴AF=DF，
∵在Rt△ABC中，CE=2BF，又∵DF=2BF，∴CE=DF=AF，
∴$\sqrt{2{x^2}-6x}$=$\frac{{\sqrt{2{x^2}+6x}}}{2}$，
∴x₁=0，x₂=5．经检验，x₁=0，x₂=5都是方程的根，但x=0不符合题意．
∴BC=$\sqrt{{x}^{2}-9}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．