Question

4．如图，点E是正方形ABCD边BC边的延长线上一点，且CE=$\frac{1}{2}$BC，BG⊥DE于点G，连接AG交CD于点F，BG交CD于点H，AB=$2\sqrt{5}$，则FG的长为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 先证明△BCH≌△DCE，然后可知CH=CE=$\sqrt{5}$，由勾股定理求出BH的值，再利用△FGF∽△BGA求出HF，最后利用相似三角形的性质即可求出AF、FG的长度．

解答 解：由题意可知：CE=$\sqrt{5}$
∵BG⊥DE，BC⊥CD，
∠BHC=∠DHG
∴∠HBC=∠EDC，
在△BCH与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBC=∠EDC}\\{BC=CD}\\{∠BCH=∠DCE}\end{array}\right.$
∴△BCH≌△DCE（ASA）
∴HC=CE=$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可知：BH=5，
∵cos∠HBC=$\frac{BC}{BH}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠HBC=$\frac{BG}{BE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴BG=6，
∴HG=1，
∵CD∥AB，
∴△FGF∽△BGA
∴$\frac{HG}{BG}$=$\frac{HF}{AB}$，
∴HF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴DF=2$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$-$\sqrt{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴由勾股定理可知：AF=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$，
∵$\frac{FG}{AG}=\frac{HG}{BG}$，设FG=x，
∴$\frac{x}{x+\frac{10\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{1}{6}$，
∴x=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴FG=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，

点评 本题考查正方形的性质，解题的关键是证明△BCH≌△DCE、△FGF∽△BGA，分别求出HC、HF、DF的长度，本题涉及勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．