Question

12．已知：如图，点C是线段AB上的任意一点（点C与A、B点不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE与CD相交于点M，BD和CE相交于点N．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：MN∥AB．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可以得出AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，就可以求出∠ACE=∠DCB=120°，由边角边就可以得出△ACE≌△DCB；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=DB，∠EAC=∠BDC，推出△ACM≌△DCN（ASA），由全等三角形的性质得到CM=CN证得△CMN为等边三角形，于是得到∠MNC=∠ECB=60°，根据平行线的判定即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；

（2）∵△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB，∠EAC=∠BDC，
∵∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠DCE=60°，
在△ACM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CDN}\\{AC=DC}\\{∠ACM=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，
∴△CMN为等边三角形，
∴∠MNC=∠ECB=60°，
∴MN∥AB．

点评 本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．