Question

7．已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是AD边上任意一点，（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E，在点P运动过程中，连接EC，是否存在∠ECP=∠DCP的情况？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 作PM⊥CE于M，先由角平分线的性质得出PD=PM，再证出∠4=∠2，得出PA=PM，因此PA=PD=$\frac{1}{2}$AD，再由△APE∽△DCP，得出对应边成比例$\frac{AE}{PD}=\frac{PA}{CD}$，求出AE，即可得出BE．

解答 解：存在；作PM⊥CE于M，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠DCP=90°，
∵∠ECP=∠DCP，
∴PM=PD，
∵PE⊥PC，
∴∠CPE=90°，
∴∠4+∠ECP=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠4=∠3，∠2=∠3，
∴∠4=∠2，
∴PA=PM，
∴PA=PD，
∴P为AD的中点，
∴PA=PD=$\frac{3}{2}$，
∵∠A=∠D，∠2=∠3，
∴△APE∽△DCP，
∴$\frac{AE}{PD}=\frac{PA}{CD}$，即$\frac{AE}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{2}$，
∴AE=$\frac{9}{8}$，
∴BE=2-$\frac{9}{8}$=$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查了矩形的性质、角的平分线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明PA=PD是解决问题的关键．