Question

11．如图，在△ABC中，点D自点B向点C运动，作DE∥AC交AB于点E．作DF∥AB交AC于点F．
（1）是否存在点D，使四边形AEDF是一个菱形？
（2）若存在，请用尺规作图法作出这个菱形，并说明理由；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）当点D在∠A的角平分线与BC的交点上时，四边形AEDF是一个菱形；
（2）作出∠A的角平分线AD，再根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EAD=∠EDA，进而可得AE=ED，然后证明四边形AEDF是平行四边形，进而可得结论．

解答 解：（1）存在，当点D在∠A的角平分线与BC的交点上时，四边形AEDF是一个菱形；

（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAE，
∵AF∥ED，
∴∠ADE=∠DAC，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，
∵DE∥AC，作DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是一个菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，以及角平分线的作法，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形．