Question

14．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A₁、A₂、A₃，…在x轴的正半轴上，点B₁、B₂、B₃，…在直线l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均为等边三角形，则△A₆B₇A₇的周长是192$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据直线的解析式求出直线l与两坐标轴的交点坐标，即得出OA=$\sqrt{3}$，OB=1，并求出∠OAB=30°，再由等边三角形和外角定理依次求出∠OB₁A=∠AB₂A₁=∠AB₃A₂=30°，根据等角对等边得：A₁A₂=A₁B₂=AA₁=2OA₁=2$\sqrt{3}$，从而发现了规律得出等边△A₆B₇A₇的边长为64$\sqrt{3}$，从而求得周长．

解答 解：当x=0时，y=1，则B（0，1），
当y=0时，x=-$\sqrt{3}$，则A（-$\sqrt{3}$，0），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∵tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
∵△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均为等边三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁A=∠AB₂A₁=∠AB₃A₂=30°，
∴OB₁=OA=$\sqrt{3}$，A₁B₂=AA₁，A₂B₃=AA₂，
则OA₁=OB₁=$\sqrt{3}$，A₁B₂=AA₁=2$\sqrt{3}$，
∴A₁A₂=A₁B₂=AA₁=2OA₁=2$\sqrt{3}$，
同理：A₂A₃=A₂B₃=2A₁A₂=4$\sqrt{3}$，
A₃A₄=2A₂A₃=8$\sqrt{3}$，
A₄A₅=2A₃A₄=16$\sqrt{3}$，
A₅A₆=2A₄A₅=32$\sqrt{3}$
∴A₆A₇=2A₅A₆=64$\sqrt{3}$，
∴△A₆B₇A₇的周长是：3×64$\sqrt{3}$=192$\sqrt{3}$，
故答案为：192$\sqrt{3}$．

点评 本题既考查了一次函数与两坐标轴的交点坐标，又考查了等腰三角形的性质与判定，根据等边三角形边长相等依次求出边长，并发现规律，得出结论．