Question

6．已知，点C（4，0）在x轴上，动点A（0，m）在y轴上，线段CB出线段CA绕点C顺时针旋转90°得到，如图所示，∠ACB=90°，AC=BC．
（1）当m=6时，求点B的坐标；
（2）当m=-6时，求点B的坐标；
（3）若点Q（-1，0），当BQ最小时，直接写出m的值．

Answer 1

分析 （1）先过点B作BD⊥x轴于点D，根据AAS判定△ACO≌△CBD，根据全等三角形的对应边相等，得出BD=4，OD=10，求得点B的坐标；
（2）先过点B作BD⊥x轴于点D，根据AAS判定△ACO≌△CBD，根据全等三角形的对应边相等，得出BD=4，OD=2，求得点B的坐标；
（3）过点B作BD⊥x轴于点D，根据全等三角形的性质，求得BD=CO=4，再根据垂线段最短，得出当点D与点Q重合时，BQ最小，求得此时AO=CQ=5，即可得到m的值．

解答 解：（1）如图所示，当m=6时，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠CDB=∠AOC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAO+∠ACO=∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠BCD，
∴△ACO≌△CBD（AAS），
∵C（4，0），A（0，6），
∴BD=CO=4，CD=AO=6，
∴OD=10，
∴此时，点B的坐标为（10，4）；

（2）如图所示，当m=6时，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠CDB=∠AOC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAO+∠ACO=∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠BCD，
∴△ACO≌△CBD（AAS），
∵C（4，0），A（0，-6），
∴BD=CO=4，CD=AO=6，
∴OD=2，
∴此时，点B的坐标为（-2，4）；

（3）如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠CDB=∠AOC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAO+∠ACO=∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠BCD，
∴△ACO≌△CBD（AAS），
∵C（4，0），
∴BD=CO=4，
连接BQ，则当点D与点Q重合时，BD=BQ=4，
根据垂线段最短，可知此时BQ最小，
∵Q（-1，0），C（4，0），
∴此时，AO=CQ=5，
又∵点A在y轴负半轴上，
∴m的值为-5．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等进行计算求解．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．