Question

18．已知△ACB为等腰直角三角形，D为BA的中点，∠EDF=45°，交AC于E点，交BC于F点，连EF．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求证：CE+EF=BF．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）过D作DG⊥DE交AB于G，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD，∠ACD=∠B=45°，通过全等三角形得到BG=CE，DG=DE，EF=GF，根据得到结论．

解答 解：（1）∵△ACB为等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵D为BA的中点，
∴CD⊥AB；

（2）过D作DG⊥DE交AB于G，
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=BD，∠ACD=∠B=45°，
∵∠EDG=∠CDB=90°，
∴∠CDE=∠BDG，
在△CDE与△BDG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠B}\\{CD=BD}\\{∠CDE=∠BDG}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDG，
∴BG=CE，DG=DE，
在△EDF与△GDF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠EDF=∠GDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△GDF，
∴EF=GF，
∵BF=BG+GF，
∴BF=CE+EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．