Question

11．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动．如果P，Q同时出发．
（1）经过几秒，P、Q的距离最短．
（2）经过几秒，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）设运动时间为x秒，则AP=x，BQ=2x，根据勾股定理可得PQ=$\sqrt{P{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{（6-x）^{2}+4{x}^{2}}$=$\sqrt{5（x-\frac{6}{5}）^{2}+\frac{144}{5}}$，即可得答案；
（2）根据S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×PB×BQ=$\frac{1}{2}$（6-x）•2x=-x²+6x=-（x-3）²+9可得答案．

解答 解：（1）设运动时间为x秒，
则AP=x，BQ=2x，
∵AB=6，
∴PB=6-x，
则PQ=$\sqrt{P{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{（6-x）^{2}+4{x}^{2}}$=$\sqrt{5（x-\frac{6}{5}）^{2}+\frac{144}{5}}$，
∴当x=$\frac{6}{5}$时，PQ最短，
答：经过1.2秒，P、Q的距离最短；

（2）∵S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×PB×BQ
=$\frac{1}{2}$（6-x）•2x
=-x²+6x
=-（x-3）²+9，
∴当x=3时，S_△PBQ取得最大值9，
答：经过3秒，△PBQ的面积最大，最大面积是9cm²．

点评 本题主要考查二次函数的应用能力，熟练掌握勾股定理和三角形的面积公式列出函数解析式是解题的关键．