如图.已知二次函数图象的对称轴为直线x=2.顶点为点C.直线y=x+m与该二次函数的图象交于点A.B两点.其中点A的坐标为(5.8).点B在y轴上．(1)求m的值和该二次函数的表达式．为线段AB上一个动点.过点P作x轴的垂线.与这个二次函数的图象交于点E．①设线段PE的长为h.求h与x之间的函数关系式.并写出自变量x的取值范围．②若直线AB与这个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，已知二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点为点C，直线y=x+m与该二次函数的图象交于点A，B两点，其中点A的坐标为（5，8），点B在y轴上．
（1）求m的值和该二次函数的表达式．（2）若点P（x，y）为线段AB上一个动点（点P不与A，B两点重合），过点P作x轴的垂线，与这个二次函数的图象交于点E．
①设线段PE的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
②若直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，求当四边形DCEP是平行四边形时点P的坐标．
（3）若点P（x，y）为直线AB上的一个动点，试探究：以PB为直径的圆能否与坐标轴相切？如果能请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．

分析（1）根据点A在直线AB上，求出直线解析式，再根据点A，B求出抛物线的解析式；
（2）①根据点P在直线AB上，表示出点P，求出h=PE；
②由DC∥PE，只要DC=PE即可，求出点P的坐标；
（3）由点P在直线AB上，确定出点P到x，y轴的距离，再由以BC为直径的圆与坐标轴相切，求出点P坐标．

解答解：（1）A的坐标为（5，8）在直线y=x+m上，
∴8=5+m，
∴m=3，
∴直线AB解析式为y=x+3，
∴B（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x-2）²+k，
∵点A，B在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+k=8}\\{a+k=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=（x-2）²-1=x²-4x+3，顶点C（2，-1）
（2）①∵点P在线段AB上，
∴P（x，x+3）（0≤x≤5），
∵PE⊥x轴，交抛物线与E，P（x，x+3），
∴E（x，x²-4x+3），
∴h=PE=x+3-（x²-4x+3）=-x²+5x，（0≤x≤5）
②∵直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，
∴D（2，5），
∴DC=6，
∵四边形DCEP是平行四边形，
∴PE=DC=6，
∵PE=|-x²+5x|，
Ⅰ、当0≤x≤5时，-x²+5x=6，
∴x₁=2（舍），x₂=3，
∴P（3，6），
Ⅱ、当x＜0，或x＞5时，x²-5x=6，
∴x₃=-1，x₄=6，
∴P（-1，2）或P（6，9），（舍）
即：点P的坐标为（3，6）
（3）∴点P（x，y）为直线AB上的一个动点，
∴P（x，x+3），
∵点B（0，3），
∴BP=$\sqrt{{x}^{2}+（x+3-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$|x|，
BP的中点M的坐标为（$\frac{x}{2}$，$\frac{x}{2}$+3）
∴点M到x轴的距离为|$\frac{x}{2}$+3|，到y轴的距离为|$\frac{x}{2}$|
∵以PB为直径的圆能与坐标轴相切，
∴①以PB为直径的圆能与y轴相切，
∴|$\frac{x}{2}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x|，
∴x=0（舍），
②以PB为直径的圆能与x轴相切，
∴|$\frac{x}{2}$+3|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|x|，
∴x=6+6$\sqrt{2}$或x=6-6$\sqrt{2}$，
∴P（6+6$\sqrt{2}$，9+6$\sqrt{2}$）或P（6-6$\sqrt{2}$，9-6$\sqrt{2}$）．
故存在点P，坐标为P（6+6$\sqrt{2}$，9+6$\sqrt{2}$）或P（6-6$\sqrt{2}$，9-6$\sqrt{2}$）时，以PB为直径的圆能与坐标轴相切．