Question

如图①，已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；
（2）如图②所示，当点F与BC的延长线相交时，判断EG与CG的关系，并加以证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，EG=

1

2

DF，CG=

1

2

DF，所以EG=CG．
（2）当点F与BC的延长线相交时，EG=CG，根据（1）的证明思路即可证明成立．

解答：（1）证明：∵EF⊥BD，
∴△DEF为直角三角形，
∵G为DF中点，
∴EG=

1

2

DF，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，
又G为DF中点，
∴CG=

1

2

DF，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴EG=CG；
（2）当点F与BC的延长线相交时，EG=CG，
理由如下：∵EF⊥BD，
∴△DEF为直角三角形，
∵G为DF中点，
∴EG=

1

2

DF，
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，
又∵G为DF中点，
∴CG=

1

2

DF，
∴EG=CG．

点评：本题主要考查了正方形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键．