已知抛物线y=ax2+bx+c．若抛物线经过点A.则记为yA,若经过点A.B.则记为yAB,若经过点A.B.C.则记为yABC．.请说明经过A.B两点的抛物线不存在.即yAB不存在．.C(3.3).是否存在同时经过A.B.C三点的抛物线.即yABC是否存在?写出你的结论.并说明理由．(3)如图.Rt△OAB中.已知A.D.E和F分别是△OAB各边的中点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）．若抛物线经过点A，则记为y_A；若经过点A、B，则记为y_AB；若经过点A、B、C，则记为y_ABC．
（1）已知A（2，1）、B（2，4），请说明经过A、B两点的抛物线不存在，即y_AB不存在．
（2）已知A（1，1）、B（2，2）、C（3，3），是否存在同时经过A、B、C三点的抛物线，即y_ABC是否存在？写出你的结论，并说明理由．
（3）如图，Rt△OAB中，已知A（8，0）、B（0，6），D、E和F分别是△OAB各边的中点，经过点O、A、B、D、E和F中的三点，一共能确定多少条不同的抛物线？请用题中的记法分别表示出来，并求出其中开口向下的抛物线的顶点坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A，B的坐标的抛物线的解析式可得方程组无解则y_AB不存在．
（2）不存在同时经过A、B、C三点的抛物线，把A（1，1）、B（2，2）、C（3，3）三点的坐标分别代入y=ax²+bx+c中，通过解方程组可知：a=0，显然与a≠0不相符，故y_ABC不存在．
（3）显然抛物线不能同时经过共线的三点及同在y轴或与y轴平行的两点，故经过经过点O、A、B、D、E和F中的三点的抛物线共有4条，设抛物线y_DFA的解析式为y=ax²+bx+c，则据条件可得到a，b，c的值，求出抛物线的解析式，再用配方法即可求出抛物线的顶点坐标．

解答：解：（1）把x=2，y=1及x=2，y=4分别代入y=ax²+bx+c中，
得

4a+2b+c=1

4a+2b+c=4

，此方程组无解，
说明经过A、B两点的抛物线不存在，即y_AB不存在．

（2）不存在同时经过A、B、C三点的抛物线．理由如下：
同样，把A（1，1）、B（2，2）、C（3，3）三点的坐标分别代入y=ax²+bx+c中，
得

a+b+c①

4a+2b+c②

9a+3b+c③

，
②-①得，3a+b…④；
③-②得，5a+b…⑤．
∴⑤-④得，a=0，显然与a≠0不相符，
故y_ABC不存在．

（3）∵A（8，0）、B（0，6），

∴OA=8，OB=6．
连接DF、EF，
∵D、E和F分别是△OAB各边的中点，
∴DF=

OA=4，EF=

OB=3．
即D（0，3）、E（4，0）、F（4，3）．
显然抛物线不能同时经过共线的三点及同在y轴或与y轴平行的两点，故经过经过点O、A、B、D、E和F中的三点的抛物线共有4条，
即y_FOA、y_DEA、y_BEA、y_DFA．其中开口向下的有y_FOA、y_DFA．
抛物线y_FOA与x轴交于O、A两点，且EF垂直平分OA，
∴抛物线y_FOA的对称轴为直线EF，
∴顶点为点F，故顶点坐标为（4，3）．
设抛物线y_DFA的解析式为y=ax²+bx+c，则据条件可得：

64a+8b+c=0

16a+4b+c=3

c=3

，
解得a=-

，b=

，c=3．
∴yDFA=-

x2+

x+3=-

(x-2)2+

．
即顶点坐标为(2，

)．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质、三角形中位线定理的运用等重要知识点，综合性强，能力要求极高．同时考查学生计算能力，数形结合的数学思想方法．