Question

如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．
（1）求证：∠BAD=∠FDE；
（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质可得∠B=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，代入数据整理即可得证；
（2）过点D作DH∥AC交AB于H，求出∠AHD=∠DCE=120°，再求出AH=CD，然后利用“角边角”证明△AHD和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=DE，判断出△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠DAE=∠DEA=60°，然后判断出△ABD和△AEG相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，
∵∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠FDE；
（2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H，
∵△ABC为等边三角形，
∴△BDH是等边三角形，
∴∠BHD=60°，BD=BH，
∴∠AHD=180°-60°=120°，
∵CE是△ABC的外角平分线，
∴∠ACE=

1

2

（180°-60°）=60°，
∴∠DCE=60°+60°=120°，
∴∠AHD=∠DCE=120°，
又∵AH=AB-BH，CD=BC-BD，
∴AH=CD，
在△AHD和△DCE中，

∠BAD=∠FDE AH=CD ∠AHD=∠DCE

，
∴△AHD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，
∵∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD，
∠EAG=∠DAE-∠CAD=60°-∠CAD，
∴∠BAD=∠EAG，
∴△ABD∽△AEG，
∴

AG

AD

=

AE

AB

，
即

AG

5

=

5

6

，
解得AG=

25

6

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各图形的判定方法与性质并作辅助线构造出全等三角形和等边三角形是解题的关键．