Question

18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，OA=$\frac{1}{2}$OC=4，∠AOC=∠B=60°，点D是线段OC中点，连接AD．
（1）求点B的坐标；
（2）平行于AD的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移．设直线l被四边形OABC截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t．
①若t=6，请直接写出此时直线l被四边形OABC截得的线段长m的值；
②当直线l与线段AB相交时（交点不与点A，B重合），请求出m与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）如图2中，作AM⊥OD于M，作AN⊥BC于点N，首先证明四边形AMCN是矩形，△AOD是等边三角形，求出AM，CM，在Rt△ABN中，求出BN即可解决问题．
（2）①如图3中延长BA交x轴于P，直线l交x轴于F，交AB于E．分别解直角三角形△BCP，△EFP即可；
②当6≤t≤12时，在Rt△PEF中，EF=$\frac{1}{2}$PF，延长即可解决问题；

解答 解：（1）如图2中，作AM⊥OD于M，作AN⊥BC于点N，
∵OA=4，OC=8，OD=DC，
∴OA=OD=4，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∵BC⊥OC，
∴∠AMC=∠ANC=∠NCM=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM=CN=2$\sqrt{3}$，CM=AN=6，
在Rt△ABN中，BN=AN•tan30°=2 $\sqrt{3}$，AB=2BN=4$\sqrt{3}$，
∴BC=BN+CN=4 $\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为（8，4 $\sqrt{3}$）．

（2）①如图3中，延长BA交x轴于P，直线l交x轴于F，交AB于E．
∵∠BPC=30°，∠PDA=60°，
∴∠PAD=90°，
∵EF∥AD，
∴∠PEF=∠PAD=90°，
在Rt△PBC中，PC=BC•tan60°=12，
∴OP=PC-OC=4，
∵t=6，
∴OF=6，PF=10，
在Rt△PEC中，EF=$\frac{1}{2}$PF=5．

②当6≤t≤12时，在Rt△PEF中，EF=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{1}{2}$（t+4）=$\frac{1}{2}$t+2．

点评 本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．