题目内容

7．如图（1），E是直线AB、CD内部一点，AB∥CD，连接EA、ED．
（1）探究：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③在图（1）中∠AED、∠EAB、∠EDC有什么数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展：如图（2），射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的四个区域（不含边界，其中③④位于直线AB的上方），P是位于以上四个区域上点，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF之间的关系．（不要求证明）

分析 （1）①过点E作EF∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；②，③根据①中的方法可得出结论；
（2）点P分别位于①、②、③、④四个区域分别根据平行线的性质和三角形的外角和内角和进行求解即可得到结论．

解答 解：（1）①如图①，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=30°，∠D=40°，
∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，
∴∠AED=∠1+∠2=70°；
②过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=20°，∠D=60°，
∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，
∴∠AED=∠1+∠2=80°；
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．
理由：过点E作EF∥CD，
∵AB∥DC，
∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．
（2）点P在区域①时，
如图1，在五边形EBCFP中，∠PEB+∠B+∠C+∠PFC+∠P=540°
∴∠EPF=540°-∠B-∠C-（∠PEB+∠PFC）=360°-（∠PEB+∠PFC）；

点P在区域②时，如图2，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

点P在区域③时，如图3，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB-∠PFC；

点P在区域④时，如图4，同（1）的方法得，∠EPF=∠PFC-∠PEB．

点评 此题是四边形综合题，主要考查的是平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．

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