Question

10．如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度和球的高度相等．当阳光与地面的夹角成60°时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高度．（结果精确到百分位，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 先过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G，过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E，则AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C，设⊙O的半径为r，则OG=3r=HF=AE，OD=r，根据∠ACB=30°，∠DOE=30°，得到Rt△ODH中，DH=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$r，DF=$\frac{1}{2}$r+3r，进而得出CE=CD=AC-AE=2$\sqrt{3}$-3r，再根据AC∥DF，得出$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AC}{FD}$，进而求得r≈1.06，据此可得这个雕塑的高度．

解答 解：如图所示，设D为光线与⊙O的切点，过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G，
过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E，则AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C，
设⊙O的半径为r，则OG=3r=HF=AE，OD=r，
∵∠ABD=60°，
∴∠ACB=30°，∠DOE=30°，
∴Rt△ODH中，DH=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$r，
∴DF=$\frac{1}{2}$r+3r，
又∵Rt△ABC中，AB=2，
∴AC=2$\sqrt{3}$，BC=4，
∴CE=CD=AC-AE=2$\sqrt{3}$-3r，
∵AC∥DF，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AC}{FD}$，即$\frac{4}{4+2\sqrt{3}-3r}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}r+3r}$，
解得r≈1.06，
∴雕塑的高度为4r=4×1.06=4.24米．

点评 本题主要考查了平行投影，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据含30°角的直角三角形的性质进行计算，依据平行线分线段成比例定理列式计算．解题时注意方程思想的运用．